Matematikte Püf Nokta

 

Kural 1

 

İki basamaklı ve 5 ile başlayan sayıların karesi

 

Birler basamağı ile 25 sayısı toplanarak cevap bulunur.

 

Örnek1:

 

562 = 25+36= 61

 

Örnek2:

 

512 = 25+01= 26

 

Kural 2

 

Birler basamağındaki sayıları 1 olan 2 basamaklı 2 sayının çarpımı

 

a1 * b1 = a * b | a + b | 1

 

Sağdan sola doğru önce 1 sonra bu iki sayının onlar basamağındaki sayıların toplamını, sonra da çarpımını yazarız. a+b> 9 olursa 1 elde olarak geçer.

 

Örnek1:

 

31 * 61 = 3 * 6 | 3 + 6 | 1 = 1891

 

Örnek2:

 

91 * 71 = 9 * 7 | 9 + 7 | 1 = 9 * 7 | 16 | 1 = 6461

 

Kural 3

 

Sonu sıfırla biten sayıların çarpımı

 

Örnek1:

 

20 ile 300′ü çarpmanız gerektiğini düşünelim. İlk önce sıfırları dikkate almayın. 2*3 işleminden 6 elde edilir. Şimdi 6′nın arkasına dikkate almadığımız sıfırları ekleyin böylece sonuç 6000 çıkar.

 

Örnek2:

 

70*70 işlemini yapalım. Bunun için başta 7*7′i çarpıp 49′u yazar ve arkasına 2 tane 0 ekleyerek sonucu 4900 buluruz.

 

Kural 4

101, 1001, 10001, vb. bir sayı ile, bu sayıdan bir basamak küçük bir sayının çarpımı

 

Bunun için sayıyı yan yana 2 defa yazmak yeterlidir.

 

Örnekler:

 

101 * 68 = 6868

 

1001 * 752 = 752752

 

10001 * 4605 = 46054605

 

Kural 5

 

Bir sayının 25 ile çarpımı

 

A * 25 = A * 100/4

 

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için önce o sayıyı 4 e böler, sonra 100 ile çarparız. Sayı tam olarak dörde bölünürse, bölümün arkasına iki sıfır konur, tam olarak bölünmeyip:

 

1 artarsa bölümün sonuna 25 yazılır

 

2 artarsa bölümün sonuna 50 yazılır

 

3 artarsa bölümün sonuna 75 yazılır.

 

Görüldüğü gibi bölümün sonuna artan sayının 25 katı yazılıyor.

 

Örnek1:

 

48 * 25 = 48/4 * 100

 

48/4 = 12 eder ve arkasına 2 sıfır yazarak 1200 buluruz.

 

Örnek2:

 

241 * 25 =?

 

241/4 = 60 buluruz ve 1 artar. Bu yüzden sonuna 25 yazarız. Sonuç 6025 olur.

 

Örnek3:

 

1642 * 25 =?

 

1642/4 = 410 ve artan 2 dir. 410′un sonuna 50 yazarız ve sonuç 41050 olur.

 

Kural 6

 

İki basamaklı bir sayının karesi

 

(ba)2 = b2 | 2ab | a2

 

Bu bize (b + a)2 sinin açılımı olan b2 + 2ab + a2 yi anımsatmaktadır, sadece aradaki toplama işaretleri ortadan kalkmıştır. Altı çizili sayılar elde olarak alınacaktır.

 

Örnek1:

 

312 = 32 | 2*3*1 | 12 = 9 | 6 | 1= 961

 

Örnek2:

 

762 = 72 | 2*7*6 | 62

 

49 | 84+3 | 6

 

49 | 87 | 6

 

49 + 8 | 7 | 6

 

5776

 

Kural 7

 

A gibi bir sayıya göre simetrik iki sayının çarpımı

 

A gibi bir sayıdan ±B kadar önce ve sonra gelen iki sayının çarpımı A2- B2 ye eşittir.

 

Örnekler:

 

808 * 793 = 800- 72 = 64000- 49 = 639951

 

525 * 475 = 5002- 252 = 25000- 625 = 249375

 

Not: Bu çıkarma işlemini şu şekilde pratik yoldan yapabiliriz. Sıfırlardan sağdan ilkini (1’ler basamağındakini) 10 diğerlerini 9 olarak düşünürüz ve sola doğru sıfırlardan sonraki ilk rakamdan 1 çıkarırız.

 

Kural 8

 

501 ile 999 arasındaki sayıların karesini bulma

 

999′un karesini bulalım hesap makinesinde yaparsak sonuç 998001 çıkacaktır. Biz bunu zihinden yapmak istersek 999′un 1000′den kaç eksik olduğunu bulacağız. 999, 1000′den 1 eksik o halde 1*1=1 yani 1000′den kaç eksikse o sayının karesini alıyoruz sonra 999′dan 1 çıkarıyoruz 999- 1=998. Bulduğumuz sayının yanına 3 tane 0 koyuyoruz. 998000 oldu. Sayımızın 1000′den kaç eksik oyduğunu bulmuştuk ve karesini almıştık. Bunu da sonra topluyoruz 998000+1=998001 işte sonucu zihinden bulduk (not: 1′in karesini aldık aynı şeyi 997 üzerine yapsaydık 3*3=9 alacaktık).

 

Kural 9

 

Aralarında 2 fark bulunan sayıların çarpımı

 

Bunun için sayıların ortalamasını kendisiyle çarparız ve bir eksiğini alırız. Örneğin 19 ile 21 i çarpmak için 20*20-1 işlemini yapar ve sonucu 399 olarak buluruz.

 

Aralarında 4 fark bulunan sayıların çarpımını bulmak için ise sayıların ortalamasını kendisiyle çarparız ve bu sefer dört eksiğini alırız. Örneğin 13 ile 9 u çarpmak için 11*11-4 işlemini yapar ve sonucu 117 olarak buluruz.

 

Kural 10

 

11 ile çarpma

Sayımız kaç basamaklı olursa olsun 11 ile çarpmak için birler basamağını yazıp, daha sonra sola doğru ikişer ikişer sayıların toplamıyla sonuca ulaşabiliriz.

Örnek1:

12*11=?

1 /1+2 / 2

1 3 2

Buradan 12*11= 132

 

Örnek2:

123 * 11 = ?

1 / 1+2 / 2+3 / 3

1 3 5 3

Buradan 123 x 11 = 1353.

 

Örnek3:

2134 * 11=?

2 / 2+1 / 1+3 / 3+4 / 4

2 3 4 7 4

Buradan 2134 x 11 = 23474.

 

Kural 11

 

100 den büyük ve 100 e yakın iki sayının çarpımı

 

Örnek1:

 

109*104 çarpımını hesaplayalım. Önce her zaman 1 yazılır. Sonra 9 ile 4 ün toplamı daha sonra 9 ile ün çarpımı yazılır. Cevap: 11336

 

Örnek2:

 

101*127=? Önce 1 sonra 1 ile 27 toplamı en sonunda ise 1 ile 27’nin çarpımı yazılır ve cevap 12827 olur.

 

Kural 12

 

Sonu 1 veya 9 ile biten bir sayının karesi:

 

212= 202+(20+21)

 

312= 302+(30+31)

 

192= 202-(20+19)

 

392= 402–(40+39)

 

Kural 13

 

Bir sayının 5 ile çarpımı

 

Bir sayıyı 5 ile çarpmak için 10 ile çarpıp yarısını almak yeterlidir. Örneğin, 42 ile 5 i çarpmak yerine 420 sayısını ikiye böler cevabı 210 buluruz.

 

Kural 14

 

Tek sayıların toplamı

 

1=12

 

1+3= 22

 

1+3+5= 32

 

1+3+5+7= 42

 

1+3+5+7+9= 52

 

1+3+5+7+9+11= 62

 

Kural 15

 

Sonu 5 ile biten sayıların karesi

 

(b5)2 = b*( b + 1 ) | 25

 

Sonu beş ile biten sayıların karesini bulmak için yirmi beş yazar, önüne bu sayının onlar basamağındaki sayısı ile onun bir fazlasının çarpımını yazarız.

 

Örnekler:

 

352 = 3*(3 + 1) | 25 = 3*4 | 25 = 1225

 

652 = 6*7 | 25 = 4225

 

852 = 8*9 | 25 = 7225

 

1052 = 10*11 | 25= 11025

 

Kural 16

 

Sonu 4 ile biten sayıların karesi

Örnek:

 

642 =?

İlk olarak bu sayının 1 fazlasının karesi bulunur.

 

Yani(64+1)2=652=4225 (bunu bulmayı kısa yoldan biliyoruz).

Sonra 64+65=129. Son olarak 4225- 129=4096. Yani 642= 4096

 

Kural 17

 

Sonu 6 ile biten sayıların karesi

Örnek1:

 

762=?

Önce 1 eksiğinin karesi alınır.752=5625.

Sonra 76+75=151. Son olarak 5625+151=5776 bulunur.

Örnek2:

 

712=?

(71- 1)=70

702=4900

70+71=141

4900+141=5041

 

Kural 18

 

a) 11 ile tüm rakamları 1 olan k basamaklı bir sayı çarpıldığında sonuç 1 ile baslar ve 1 ile biter 1’ler arasında k-1 tane 2 vardır.

Örnekler:

11×11111(5basamaklı)=122221

11×11111111(8basamaklı)=122222221

 

b)Yine tüm rakamları 1 ve basamak sayıları eşit olursa yan yana 1’lerin karesi yani 11111×11111 gibi sayı kaç basamaklıysa o kadar 123…. diye yazılır sonra tekrar geriye doğru inilir

Örnekler:

1111×1111(4basamaklı)=1234321

1111111×1111111(7basamklı)=1234567654321

 

c)Rakamlarının hepsi 1 ama basamak sayıları eşit olmadığında basamak sayısı az olanın basamak sayısı kadar 123… yazılır sonra iki sayının basamak sayıları farkı kadar hangi rakamda kalınmışsa tekrar edilir ve tekrar 1’e dönülür

Örnekler:

111(3basamklı)x111111(6basamaklı)= 12333321 (basamak farkları 3 tane olduğu için 3 tane daha 3 yazılır)

11111(5basamklı)x11111111(8basamaklı)=123455554321

 

Umarim İŞİnİze Yarar

 

Cosx+cos6x+cos11x

———————– = BÖyle İfadelerde

Sİnx+sİn6x+sİn11x

 

En Soldakİ İle En SaĞdakİnİn Toplaminin Yarisi Ortadakİnİ Verİyor İse Yanİ X+11x=12x/2=6x Ortadakİnİ Verİyor İse Yanliz Hem Pay Hemde Payda İÇİn Uygulamak Gerekİr SonuÇ Ortadakİlerİn Oranidir

Yanİ

 

Cos6x

——-

Sİn6x Tİr

 

İsteyen ArkadaŞlarda Uzun Yoldan Yapabİlİr

 

Bu Kural 4tane Ard Arda Olanlar İÇİnde GeÇerlİ

 

Yanİ

 

Sİn10+sİn20+sİn30+sİn40

——————————-=

Cos10+cos20+cos30+cos40

 

Yanliz Bundada ŞÖyle Yapmak Gerekİyor

 

En SaĞ Ve En Soldakİlerİn Toplami Ortadakİlerİn Toplamini Verİyor İse Yanİ 10+40=50 20+30=50 Yanİ Bİrbİrİne EŞİt Oluyor İse

 

Ortadakİlerİn Toplaminin Yarisi Orani Vardir

 

Yanİ SonuÇ

 

Sİn25

——-

Cos25 Tİr

 

MATEMATİK – İlginç Sayılar

 

12.345.679 * 9 =111.111.111

12.345.679 * 18 =222.222.222

12.345.679 * 27 =333.333.333

12.345.679 * 36 =444.444.444

12.345.679 * 72 = 888.888.888

12.345.679 * 81 = 999.999.999

 

 

 

ARTIK RAKAMLARI 1 OLAN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK KOLAY

12= 1

112= 121

1112= 12321

11112= 1234321

111112= 123454321

1111112= 12345654321

11111112= 1234567654321

{7 adet 1}

 

tek sayıların toplamı

1=12

1+3= 22

1+3+5= 32

1+3+5+7= 42

1+3+5+7+9= 52

1+3+5+7+9+11= 62

 

6 tek sayının toplamı

 

BAK ŞU İŞE

 

1+2= 3

4+5+6= 7+8

9+10+11+12= 13+14+15

16+17+18+19+20= 21+22+23+24

 

BAK ŞU SAYILARA

 

4913=(4+9+1+3)3

5832=(5+8+3+2)3

19683=(1+9+6+8+3)3

17576=(1+7+5+7+6)3

390265=(3+9+0+6+2+5)4

234256=(2+3+4+2+5+6)4

 

İLGİNÇ EŞİTLİKLER

 

25.92 = 2592

13+53+33=153

33+73+13=371

 

BUNLARIDA İNCELEYİN…

 

(2+3+4+2+5+6)^4 =234256

 

(5+2+5+2+1+8+7+5)^5 = 52521875

 

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3

 

371= 3^3 + 7^3 + 1^3

 

135 = 1*3*5*(1+3+5)

 

144 = 1*4*4*(1+4+4)

 

8833 = 88^2 + 33^2

 

37+3*7 = 3^2+7^2

 

37*(3+7) = 3^3+7^3

 

(1^5+2^5+3^5+…+n^5)+(1^7+2^7+3^7+…+n^7) = 2*(1+2+3+…+n)^4

 

1^n + 6^n + 7^n + 17^n + 18^n + 23^n= 2^n + 3^n + 11^n + 13^n + 21^n + 22^n

 

(n=1, 2, 3, 4, 5 olabilir)

 

1*8 = 8 (0+8 = 8 )

 

2*8 = 16 (1+6 = 7)

 

3*8 = 24 (2+4 = 6)

 

4*8 = 32 (3+2 = 5)

 

5*8 = 40 (4+0 =4)

 

6*8 = 48 (4 8 = 12 ve 1+2=3)

 

7*8 = 56 (5+6 = 11 ve 1+1 =2)

 

8*8 = 64 ( 6+4 = 10 ve 1+0 = 1)

 

6*2 = 12

 

6*3 = 18

 

6*4 = 24

 

6*5 = 30

 

6*6 = 36

 

6*7 = 42

 

6*8= 48

(1+2 = 3)

 

(1+8 = 9)

 

(2+4 = 6)

 

(3+0 = 3)

 

(3+6 = 9)

 

(4+2 = 6)

 

(4+8 = 12 ve1+2 = 3)

 

Gördüğünüz gibi rakamlar toplamı 3, 9, 6 şeklinde devam ediyor

ve daha büyük sayılar için de bu kural geçerli